挂谷猜想可视化 · Kakeya Conjecture Visualizer

一个单文件、可交互的网页，用于直观理解 挂谷猜想（Kakeya conjecture） 的 2D 与 3D 形态。清晰、真实、美观、可点击互动，并标注中英文说明与公式集合。

在线预览（GitHub Pages）：部署后见仓库 Settings → Pages。也可直接双击 index.html 在浏览器打开。

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一、这是什么

挂谷问题（Kakeya needle problem，1917，挂谷宗一）：在平面中使一根单位长度（长度 1）的针旋转 360°，所需的最小区域面积是多少？

挂谷集（Kakeya set）：欧几里得空间中包含每个方向上单位线段的点集。

挂谷猜想（维数形式）：在 $\mathbb{R}^n$ 中，任何挂谷集的 Hausdorff 维数必须等于 $n$。

维度 $n$	状态	出处
1, 2	✅ 已证明	Davies 1971
3	🟣 2025 年宣称证明	Wang & Zahl 2025 (arXiv:2502.17655)
$\ge 4$	🟡 开放	—

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二、功能特性

• 2D 互动①：针在圆盘 / 等边三角形 / 贝西科维奇集（示意）中旋转 360°，可播放、调速，实时显示区域面积。
• 2D 互动②：Perron 树构造演示——通过迭代层数滑块，直观看到并集面积趋于 0（贝西科维奇反直觉结论）。
• 3D 互动：Three.js (WebGL) 渲染"各方向针"组成的三维挂谷集，鼠标拖拽旋转视角，可调节方向数、自动旋转、显示包围球。
• 公式集合：Hausdorff 维数猜想及状态表、Kakeya 极大函数、Perron 树面积界、有限域 Dvir 下界，均以 LaTeX 渲染并标注年份出处。
• 中英双语：页面顶部「中文 / English」一键切换。
• 权威可溯源：所有结论对应公开文献（见"参考与引用"），3D 的 $n=3$ 证明为 2025 预印本宣称结果，以正式发表与学界共识为准。

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三、使用方法

1. 直接用浏览器打开 index.html（推荐 Chrome / Edge / Firefox）。
2. 需要联网：3D 视图通过 CDN 加载 Three.js，公式通过 CDN 加载 MathJax；若无网络，2D 动画与文字说明仍可正常使用，3D 区会提示。
3. 在页面内：
   • 切换「中文 / English」按钮浏览双语说明；
   • 在 2D 互动 区选择区域、播放/暂停、拖动速度；在 Perron 树区拖动迭代数；
   • 在 3D 互动 区拖拽旋转、调节方向数、开关自动旋转与包围球；
   • 在 公式集合 区查看权威公式与状态表；
   • 在 流程图 区查看页面结构与数学逻辑。

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四、数学逻辑与页面结构流程图

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五、目录结构

kakeya-conjecture-visualizer/
├── index.html              # 单文件交互页面（2D + 3D + 公式 + 中英切换）
├── README.md               # 中文介绍与使用说明
├── README_EN.md            # English introduction & usage
├── LICENSE                 # MIT License
├── CITATION.cff            # 引用信息
└── docs/
    └── images/
        └── page-flow.svg   # 流程图

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六、参考与引用

• Kakeya, S. (1917). Some problems on maximum and minimum regarding ovals. Tôhoku Sci. Rep.
• Pál, G. (1920). Ein Minimumproblem für Ovale. Math. Ann.
• Besicovitch, A. S. (1919). Sur la mésure des grands ensembles de points. Math. Ann.
• Davies, R. O. (1971). Some remarks on the Kakeya problem. Proc. Cambridge Philos. Soc.
• Wolff, T. (1995). An improved bound for Kakeya type maximal functions. Rev. Mat. Iberoamericana.
• Dvir, Z. (2009). On the size of Kakeya sets in finite fields. J. AMS. (arXiv:0803.2336)
• Wang, H. & Zahl, J. (2025). Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions. arXiv:2502.17655
• Wikipedia: Kakeya set

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七、许可

本项目基于 MIT License 开源，可自由用于教学与科普。引用请参见 CITATION.cff。