forked from nadvornix/calculus-made-easy
-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
Expand file tree
/
Copy path20.html
More file actions
422 lines (397 loc) · 21.3 KB
/
Copy path20.html
File metadata and controls
422 lines (397 loc) · 21.3 KB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
<!DOCTYPE html>
<meta charset="UTF-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<title>
Хитрощі, підводні камені та тріумфи | Математичний аналіз простими словами
</title>
<link rel="stylesheet" href="screen.css" />
<style>
body {
counter-reset: h1 20;
}
</style>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}});
</script>
<script
type="text/javascript"
src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"
></script>
<h1><br />Хитрощі, підводні камені та тріумфи</h1>
<p class="a rotatedFloralHeartBullet"></p>
<p>
<em>Хитрощі.</em> Значна частина праці з інтегрування різних речей полягає в
тому, щоб привести їх у певну форму, яку можливо інтегрувати. Книги — і я маю
на увазі серйозні книги — про інтегральне числення сповнені планів, методів і
хитрощів для такого роду роботи. Нижче наведено деякі з таких.
</p>
<p>
<em>Інтегрування частинами.</em><a name="intparts" /> Ця назва надана прийому,
формула для якого це \[ \int u\, dx = ux - \int x\, du + C. \] Це корисно в
деяких випадках, коли ви не можете впоратися безпосередньо. Таким чином, у
будь-якому випадку, коли можна знайти $\int x\, du$, також можна знайти $\int
u\, dx$. Цю формулу можна вивести наступним чином.
<a href="6.html#differprod">Звідси</a> ми маємо \[ d(ux) = u\, dx + x\, du, \]
що можна записати як \[ u(dx) = d(ux) - x\, du, \] що шляхом прямого
інтегрування дає наведений вище вираз.
</p>
<p></p>
<p><em>Приклади</em> (1) Знайдіть $\int w · \sin w\, dw$.</p>
<p>
Запишемо $u = w$, а для $\sin w · dw$ запишемо $dx$. Тоді ми матимемо $du =
dw$, а $\int \sin w · dw = -\cos w = x$.
</p>
<p>
Додавши їх до формули, ми отримаємо \begin{align*} \int w · \sin w\, dw &=
w(-\cos w) - \int -\cos w\, dw \\ &=-w \ cos w + \sin w + C. \end{align*}
</p>
<p>
(2) Знайдіть $\int x \epsilon^x\, dx$. \begin{align*} \text{Нехай}\; u &=
x, & \epsilon^x\, dx&=dv; \\ \text{потім }\; du &= dx, & v
&=\epsilon^x, \end{align*} та \[ \int x\epsilon^x\, dx = x\epsilon^x -
\int \epsilon^x\, dx \quad \text{(за формулою)} \\ = x \epsilon^x - \epsilon^x
= \epsilon^x(x-1) + C. \]
</p>
<p>
(3) Спробуємо $\int \cos^2 \theta\, d\theta$.<a name="moreexamples" />
\begin{align*} u &= \cos \theta, &\cos \theta\, d\theta &= dv. \\
\text{Звідси }\; du&= -\sin \theta\, d\theta, & v &=\sin \theta,
\end{align*} \begin{align*} \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \ cos \theta
\sin \theta+ \int \sin^2 \theta\, d\theta \\ &= \frac{2 \cos\theta
\sin\theta}{2} +\int(1-\cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{\sin
2\theta}{2} + \int d\theta - \int \cos^2 \theta\, d\theta. \end{align*}
\begin{align*} \text{Отже}\; 2 \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin
2\theta}{2} + \theta \\ та \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin
2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align*}
</p>
<p>
(4) Знайдіть $\int x^2 \sin x\, dx$. \begin{align*} \text{Нехай }\; x^2 &=
u, & \sin x\, dx &= dv; \\ \text{тоді }\; du &= 2x\, dx, & v
&= -\cos x, \end{align*} \[ \int x^2 \sin x\, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x
\ cos x\, dx. \]
</p>
<p>
Тепер знайдемо $\int x \cos x\, dx$, інтегруючи частинами (як у прикладі 1
вище): \[ \int x \cos x\, dx = x \sin x + \cos x+C. \]
Отже
</p>
<p class="mobile">
\begin{align*} \int x^2 \sin x\, dx &= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2
\cos x + C' \\ &= 2 \left[ x \ sin x + \cos x \left(1 -
\frac{x^2}{2}\right) \right] +C'. \end{align*}
</p>
<p class="desktop">\begin{align*} \int x^2 \sin x\, dx &= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2
\cos x + C' \\ &= 2 \left[ x \ sin x + \cos x \left(1 -
\frac{x^2}{2}\right) \right] +C'. \end{align*}
</p>
<p>
(5) Знайдіть $\int \sqrt{1-x^2}\, dx$. \begin{align*} \text{Нехай}\; u &=
\sqrt{1-x^2},\quad dx=dv; \\ \text{тоді }\; du &= -\frac{x\,
dx}{\sqrt{1-x^2}}\quad \text{(див. Розд. IX)} \end{align*} і $x=v$; так що \[
\int \sqrt{1-x^2}\, dx=x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^ 2}}.
\]
</p>
<p>
Тут ми можемо використати невеличку хитрість, оскільки можна записати
</p>
<p class="mobile">
\[ \int
\sqrt{1-x^2}\, dx = \int \frac{(1-x^2)\, dx}{\sqrt{1 -x^2}} = \int
\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]
</p>
<p class="desktop">
\[ \int
\sqrt{1-x^2}\, dx = \int \frac{(1-x^2)\, dx}{\sqrt{1 -x^2}} = \int
\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]
</p>
<p>
Склавши ці два останні рівняння, ми позбудемося $\int \dfrac{x^2\,
dx}{\sqrt{1-x^2}}$ і отримаємо \[ 2 \int \sqrt{1-x ^2}\, dx = x\sqrt{1-x^2} +
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]
</p>
<p>
Ви пам’ятаєте зустріч із $\dfrac {dx}{\sqrt{1-x^2}}$? Цей вираз був отриманий
диференціюванням $y=\arcsin x$ (див. <a href="15.html#intex3">тут</a>); отже
його інтеграл дорівнює $\arcsin x$, отже \[ \int \sqrt{1-x^2}\, dx = \frac{x
\sqrt{1-x^2}}{2} + \tfrac{ 1}{2} \arcsin x +C. \]
</p>
<p>
Тепер ви можете спробувати деякі вправи самостійно, ви знайдете їх в кінці
цього розділу.
</p>
<p>
<em>Підстановка.</em> Це той самий трюк, що був описаний в
<a href="9.html">Розд. IX</a>. Проілюструймо його застосування до інтегрування
на декількох прикладах.
</p>
<p>
(1) $\int \sqrt{3+x}\, dx$. \begin{align*} \text{Нехай } 3+x &= u,\quad dx = du;
\\ замінемо \int u^{\frac{1}{2}}\, du &= \tfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} =
\tfrac{2}{3 }(3+x)^{\frac{3}{2}}. \end{align*}
</p>
<p>
(2) $\int \dfrac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}}$. Нехай \[ \epsilon^x = u,\quad
\frac{du}{dx} = \epsilon^x,\quad\text{і}\quad dx = \frac{du}{\epsilon^x}; \\
\] так що
</p>
<p class="mobile">\[ \int \frac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}} = \int
\frac{du}{\epsilon^x(\epsilon^x+\epsilon^{ -x})} = \int \frac{du}{u\left(u +
\dfrac{1}{u}\right)} = \int \frac{du}{u^2+1}. \]
</p>
<p class="desktop">\[ \int \frac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}} = \int
\frac{du}{\epsilon^x(\epsilon^x+\epsilon^{ -x})} = \int \frac{du}{u\left(u +
\dfrac{1}{u}\right)} = \int \frac{du}{u^2+1}. \]
</p>
<p>$\dfrac{du}{1+u^2}$ є результатом диференціювання $\arctan x$.</p>
<p>Отже, інтеграл дорівнює $\arctan \epsilon^x$.</p>
<p>(3)</p>
<p class="mobile">
\[\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3} = \int \dfrac{dx}{x^2+2x+1+2} = \int
\dfrac{dx}{(x+1)^2+(\sqrt 2)^2} .\]
</p>
<p class="desktop">
\[\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3} = \int \dfrac{dx}{x^2+2x+1+2} = \int
\dfrac{dx}{(x+1)^2+(\sqrt 2)^2} .\]
</p>
<p>
Нехай $x+1=u,\quad dx=du$; тоді інтеграл стає $\int
\dfrac{du}{u^2+(\sqrt2)^2}$; але $\dfrac{du}{u^2+a^2}$ є результатом
диференціювання $u=\dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{u}{a}$.
</p>
<p>
Отже, нарешті маємо $\dfrac{1}{\sqrt2} \arctan \dfrac{x+1}{\sqrt 2}$ для
значення даного інтеграла.
</p>
<p>
<em>Формули скорочення</em> є спеціальними формами, застосовними головним
чином до біноміальних і тригонометричних виразів, що мають бути
проінтегровані, та приводять їх до певної форми, інтеграл якої відомий.
</p>
<p>
<em>Раціоналізація</em> і <em>Факторизація знаменника</em> є прийомами,
застосовними в особливих випадках, але вони не допускають жодного короткого чи
загального роз'яснення. Потрібно багато практики, щоб ознайомитися з цими
підготовчими процесами.
</p>
<p>
Наступний приклад показує, як процес розкладання <a name="partfracs" /> на
неповні дроби, про який ми дізналися в Розд. XIII.,
<a href="13.html#partfracs2">тут</a>, може бути використаний для інтегрування.
</p>
<p>
Візьмемо знову $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3}$; якщо ми розкладемо
$\dfrac{1}{x^2+2x+3}$ на часткові дроби, він стане (див.
<a href="20.html#partfracs3">тут</a>): \[ \dfrac{1}{2\sqrt{-2}} \left[\int
\dfrac{dx}{x+1-\sqrt{-2}} - \int \dfrac{dx}{x +1+\sqrt{-2}} \right] \] \[
=\dfrac{1}{2\sqrt{-2}} \log_\epsilon \dfrac{x+1-\sqrt{-2}} {x+1+\sqrt{-2}}. \]
Зауважте, що один і той самий інтеграл іноді можна виразити кількома способами
(які є еквівалентними один одному).
</p>
<p>
<em>Підводні камені.</em> Початківець може упустити певні моменти, яких
досвідчена рука уникне. Наприклад, використання множників, що дорівнюють нулю
або нескінченності, або поява невизначених величин, таких як $\tfrac{0}{0}$.
Немає золотого правила, яке спрацює у кожному можливому випадку. Нічого, окрім
практики й кмітливої уваги, не допоможе. Приклад такої ситуації, яку треба
було обійти, виник у <a href="18.html">Розд. XVIII</a>, коли ми дійшли до
задачі інтегрування $x^{-1}\, dx$.
</p>
<p>
<em>Тріумфи.</em> Під тріумфами слід розуміти успіхи, з яким диференціальне та
інтегральне числення були застосовані для розв’язання проблем, інакше
нерозв’язних. Часто при розгляді фізичних зв’язків можна побудувати вираз для
закону, що виражає взаємодію частин або сил, що ними керують, і такий вираз,
природно, матиме форму <em>диференціального рівняння</em>, тобто рівняння, що
містить диференціали з іншими алгебраїчними величинами або без них. І коли
таке диференціальне рівняння знайдено, неможливо просунутися далі, поки воно
не буде проінтегровано. Загалом набагато легше сформулювати відповідне
диференціальне рівняння, ніж розв’язати його: справжня проблема починається
лише тоді, коли хтось хоче його інтегрувати, якщо тільки рівняння не має
стандартної форми, інтеграл якої відомий - тоді тріумф легкий. Рівняння, що є
результатом інтегрування диференціального рівняння, називається* його
«розв'язком»; і це досить дивно, наскільки у багатьох випадках рішення
виглядає так, ніби воно не має жодного відношення до диференціального
рівняння, інтегральною формою якого воно є. Рішення часто здається настільки ж
відмінним від оригінального виразу, наскільки метелик відрізняється від
гусениці, якою він був. Хто б міг припустити, що така невинна штука, як \[
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{a^2-x^2} \] може розквітнути у \[ y = \dfrac{1}
{2a} \log_\epsilon \dfrac{a+x}{ax} + C? \] Але останній вираз є
<em>рішенням</em> першого.
</p>
<p>
<note
>*Це означає, що фактичний результат інтегрування називається його
«розв’язком». Але багато математиків сказали б, як і професор Форсайт, що
«кожне диференціальне рівняння<em> вважається вирішеним</em> коли значення
залежної змінної виражається як функція незалежної змінної за допомогою або
відомих функцій, або інтегралів, незалежно від того, чи можуть ці інтеграли
бути виражені через вже відомі функції».</note
>
</p>
<p>Як останній приклад, розгляньмо зазначене вище разом.</p>
<p>
За неповними дробами, <a name="partfracs3" /> \begin{align*} \frac{1}{a^2-x^2}
&= \frac{1}{2a(a+x)} + \frac{1}{2a(ax)}, \\ dy &= \frac {dx}{2a(a+x)}+
\frac{dx}{2a(ax)}, \\ y &= \frac{1}{2a} \left( \int \frac{ dx}{a+x} + \int
\frac{dx}{ax} \right) \\ &= \frac{1}{2a} \left(\log_\epsilon (a+x) -
\log_\epsilon (ax) \right) \\ &= \frac{1}{2a} \log_\epsilon \frac{a+x}{ax}
+ C. \end{align*} Не дуже складна метаморфоза!
</p>
<p>
Є цілі трактати, наприклад <em>«Диференціальні рівняння»</em> Буля, присвячені
темі пошуку «рішень» для різних початкових форм.
</p>
<p></p>
<hr />
<h3>Вправи XIX</h3>
<p></p>
<p>(1) Знайдіть $\int \sqrt {a^2 - x^2}\, dx$.</p>
<p>(2) Знайдіть $\int x \log_\epsilon x\, dx$.</p>
<p>(3) Знайдіть $\int x^a \log_\epsilon x\, dx$.</p>
<p>(4) Знайдіть $\int \epsilon^x \cos \epsilon^x\, dx$.</p>
<p>(5) Знайдіть $\int \dfrac{1}{x} \cos (\log_\epsilon x)\, dx$.</p>
<p>(6) Знайдіть $\int x^2 \epsilon^x\, dx$.</p>
<p>(7) Знайдіть $\int \dfrac{(\log_\epsilon x)^a}{x}\, dx$.</p>
<p>(8) Знайдіть $\int \dfrac{dx}{x \log_\epsilon x}$.</p>
<p>(9) Знайдіть $\int \dfrac{5x+1}{x^2 +x-2}\, dx$.</p>
<p>(10) Знайдіть $\int \dfrac{(x^2 -3)\, dx}{x^3 - 7x+6}$.</p>
<p>(11) Знайдіть $\int \dfrac{b\, dx}{x^2 -a^2}$.</p>
<p>(12) Знайдіть $\int \dfrac{4x\, dx}{x^4 -1}$.</p>
<p>(13) Знайдіть $\int \dfrac{dx}{1-x^4}$.</p>
<p>(14) Знайдіть $\int \dfrac{dx}{x \sqrt {a-bx^2}}$.</p>
<p></p>
<h3 class="answers">Відповіді</h3>
<p>
(1) $\dfrac{x\sqrt{a^2 - x^2}}{2} + \dfrac{a^2}{2} \sin^{-1} \dfrac{x}{a} +
C$.
</p>
<p>(2) $\dfrac{x^2}{2}(\log_\epsilon x - \tfrac{1}{2}) + C$.</p>
<p>
(3) $\dfrac{x^{a+1}}{a + 1} \left(\log_\epsilon x - \dfrac{1}{a + 1}\right) +
C$.
</p>
<p>(4) $\sin \epsilon^x + C$.</p>
<p>(5) $\sin(\log_\epsilon x) + C$.</p>
<p>(6) $\epsilon^x (x^2 - 2x + 2) + C$.</p>
<p>(7) $\dfrac{1}{a + 1} (\log_\epsilon x)^{a+1} + C$.</p>
<p>(8) $\log_\epsilon(\log_\epsilon x) + C$.</p>
<p>(9) $2\log_\epsilon(x - 1) + 3\log_\epsilon(x + 2) + C$.</p>
<p>
(10) $\frac{1}{2} \log_\epsilon(x - 1) + \frac{1}{5} \log_\epsilon(x - 2) +
\frac{3}{10} \log_\epsilon(x + 3) + C$.
</p>
<p>(11) $\dfrac{b}{2a} \log_\epsilon \dfrac{x - a}{x + a} + C$.</p>
<p>(12) $\log_\epsilon \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} + C$.</p>
<p>
(13) $\frac{1}{4} \log_\epsilon \dfrac{1 + x}{1 - x} + \frac{1}{2} \arctan x +
C$.
</p>
<p>
(14) $\dfrac{1}{\sqrt{a}} \log_\epsilon \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{a -
bx^2}}{x\sqrt{a}}$. (Нехай $\dfrac{1}{x} = v$; потім у результаті нехай
$\sqrt{v^2 - \dfrac{b}{a}} = v - u$.)
<br />
</p>
<div id="share-block" class="share-block">
<!-- <p class="share-invite"> Поділитись </p> -->
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" x="0px" y="0px" width="20" height="20" viewBox="0 0 24 24">
<path fill="#B32424" d="M 18 2 C 16.35499 2 15 3.3549904 15 5 C 15 5.1909529 15.021791 5.3771224 15.056641 5.5585938 L 7.921875 9.7207031 C 7.3985399 9.2778539 6.7320771 9 6 9 C 4.3549904 9 3 10.35499 3 12 C 3 13.64501 4.3549904 15 6 15 C 6.7320771 15 7.3985399 14.722146 7.921875 14.279297 L 15.056641 18.439453 C 15.021555 18.621514 15 18.808386 15 19 C 15 20.64501 16.35499 22 18 22 C 19.64501 22 21 20.64501 21 19 C 21 17.35499 19.64501 16 18 16 C 17.26748 16 16.601593 16.279328 16.078125 16.722656 L 8.9433594 12.558594 C 8.9782095 12.377122 9 12.190953 9 12 C 9 11.809047 8.9782095 11.622878 8.9433594 11.441406 L 16.078125 7.2792969 C 16.60146 7.7221461 17.267923 8 18 8 C 19.64501 8 21 6.6450096 21 5 C 21 3.3549904 19.64501 2 18 2 z M 18 4 C 18.564129 4 19 4.4358706 19 5 C 19 5.5641294 18.564129 6 18 6 C 17.435871 6 17 5.5641294 17 5 C 17 4.4358706 17.435871 4 18 4 z M 6 11 C 6.5641294 11 7 11.435871 7 12 C 7 12.564129 6.5641294 13 6 13 C 5.4358706 13 5 12.564129 5 12 C 5 11.435871 5.4358706 11 6 11 z M 18 18 C 18.564129 18 19 18.435871 19 19 C 19 19.564129 18.564129 20 18 20 C 17.435871 20 17 19.564129 17 19 C 17 18.435871 17.435871 18 18 18 z"></path>
</svg>
</div>
<hr />
<a href="21.html">Далі →</a><br />
<a href="/">Головна сторінка ↑</a><br />
<a href="https://survey.calculusmadeeasy.org.ua/index.php/111939?lang=uk" target="_blank">
Запропонувати виправлення ✍
</a> <br/>
<br/>
<div id="advert-container">
</div>
<script src="j/jquery.js"></script>
<script src="j/modernizr.js"></script>
<script src="j/dih5.js"></script>
<script>
(function () {
const button = document.getElementById('share-block');
const shareUrl = window.location.href;
button.addEventListener('click', async () => {
if (navigator.share) {
try {
await navigator.share({
title: document.title,
url: shareUrl
});
} catch (e) {
}
} else if (navigator.clipboard) {
try {
await navigator.clipboard.writeText(shareUrl);
const oldContent = button.innerHTML;
button.innerHTML = `
<svg class="share-icon" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24">
<path fill="green" d="M20.285 6.709a1 1 0 0 0-1.414-1.414L9 15.167l-4.871-4.872a1 1 0 1 0-1.414 1.414l5.578 5.578a1 1 0 0 0 1.414 0l10.578-10.578z"/>
</svg>
<p class="share-invite">Скопійовано</p>
`;
setTimeout(() => {
button.innerHTML = oldContent;
}, 2000);
} catch (e) {
console.error("Не вдалось скопіювати посилання:", e);
}
}
});
})();
</script>
<script>
function weightedRandom(items) {
// Random number between 0 and totalWeight
const random = Math.random();
// Find the item
let cumulative = 0;
for (const item of items) {
cumulative += item.display_probability;
if (random < cumulative) {
return item;
}
}
return null;
}
(async function () {
const container = document.getElementById("advert-container");
if (!container) return;
let items;
try {
const response = await fetch("/advert/advert.json"); // подгрузка JSON
items = await response.json();
} catch (e) {
console.error("Не вдалося завантажити рекламу:", e);
return;
}
const advert = weightedRandom(items);
if(advert == null) return;
container.innerHTML = `
<aside class="advert">
<div class="advert-body">
<a href="${advert.url}" class="conver-link"><img src="/advert/${advert.cover}" alt="" class="advert-cover" /></a>
<div class="advert-text">
<div class="advert-content">
<div class="advert-title">${advert.title}</div>
<div class="advert-description">${advert.description}</div>
<a href="${advert.url}" class="advert-link" target="_blank" rel="noopener">Допомогти →</a>
</div>
${advert.include_affiliate_message ? `
<div class="advert-affiliate">
${advert.include_affiliate_message}
</div>` : ""}
</div>
</div>
</aside>
`;
})();
</script>
<script
data-goatcounter="https://calculus-made-easy-ua.goatcounter.com/count"
async
src="//gc.zgo.at/count.js"
></script>