forked from nadvornix/calculus-made-easy
-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
Expand file tree
/
Copy path16.html
More file actions
383 lines (356 loc) · 19 KB
/
Copy path16.html
File metadata and controls
383 lines (356 loc) · 19 KB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
<!DOCTYPE html>
<meta charset="utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<title>Часткове диференціювання | Математичний аналіз простими словами</title>
<link rel="stylesheet" href="screen.css" />
<style>
body {
counter-reset: h1 16;
}
</style>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}});
</script>
<script
type="text/javascript"
src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"
></script>
<h1><br />Часткове диференціювання</h1>
<p class="a rotatedFloralHeartBullet"></p>
<p>
Іноді ми зустрічаємо величини, які є функціями більш ніж однієї незалежної
змінної. Таким чином, ми можемо отримати випадок, коли $y$ залежить від двох
інших змінних величин, одну з яких ми назвемо $u$, а іншу — $v$. У символах<a
name="partialdiff"
/>
\[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\,
dv; \] \[ y = f(u, v). \] Візьмемо найпростіший конкретний випадок. Нехай \[ y
= u×v. \] Що нам робити? Якби ми розглядали $v$ як константу та проводили
диференціювання відносно $u$, ми мали б отримати \[ dy_v = v\, du; \] або якщо
ми розглядаємо $u$ як константу та диференціюємо відносно $v$, ми повинні
отримати: \[ dy_u = u\, dv. \]
</p>
<p>
Маленькі літери, розміщені тут як нижні індекси, показують, яка величина в
операції була прийнята як постійна.
</p>
<p>
Ще один спосіб вказати, що диференціювання було виконано <em>частково</em>,
тобто було виконано лише щодо <em>однієї</em> з незалежних змінних, це
записати похідні з грецькими дельтами, тобто $\partial$, замість маленьких
$d$. Таким чином \begin{align*} \frac{\partial y}{\partial u} &= v, \\
\frac{\partial y}{\partial v} &= u. \end{align*}
</p>
<p>
Якщо ми підставимо ці значення замість $v$ і $u$ відповідно, ми отримаємо \[
dy_v = \frac{\partial y}{\partial u}\, du, \\ dy_u = \frac{\partial y}
{\partial v}\, dv, \]
</p>
<p>що називається <em>частковими диференціалами</em>.</p>
<p>
Але, якщо ви замислитесь, то помітите, що повна зміна $y$ залежить від
<em>обох</em> цих штук одночасно. Тобто, якщо обидві вони змінюються,
справжній $dy$ слід записати як \[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du +
\dfrac{\partial y}{\partial v }\, dv; \] і це називається
<em>повним диференціалом</em>. У деяких книгах це пишеться як $dy =
\left(\dfrac{dy}{du}\right)\, du + \left(\dfrac{dy}{dv}\right)\, dv$.
</p>
<p>
<a name="example1" /><em>Приклад (1)</em> Знайдіть часткові похідні виразу $w
= 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3$. Відповіді: \[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial
w}{\partial x} &= 4ax + 3by. \\ \frac{\partial w}{\partial y} &= 3bx +
12cy^2. \end{aligned} \right\} \]
</p>
<p>
Перша отримана з припущенням, що $y$ константа, друга – якщо припустити, що
$x$ є константою; тоді \[ dw = (4ax+3by)\, dx + (3bx+12cy^2)\, dy. \]
</p>
<p>
<a name="example2" /><em>Приклад (2)</em> Нехай $z = x^y$. Тоді, розглядаючи
спочатку $y$, а потім $x$ як константу, ми отримуємо таким самим чином \[
\left. \begin{aligned} \dfrac{\partial z}{\partial x} &= yx^{y-1}, \\
\dfrac{\partial z}{\partial y} &= x^y × \log_\epsilon x,
\end{aligned}\right\} \] тож $dz = yx^{y-1}\, dx + x^y \log_\epsilon x \, dy$.
</p>
<p>
<a name="example3" /><em> Приклад (3)</em> Конус із висотою $h$ і радіусом
основи $r$ має об’єм $V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$. Якщо його висота залишається
незмінною, а $r$ змінюється, відношення зміни об’єму щодо радіуса
відрізняється від відношення зміни об’єму до висоти, яке мало б місце, якби
висота змінювалася, а радіус залишався постійним, тобто \[ \left.
\begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial r} &= \dfrac{2\pi}{3} rh, \\
\frac{\partial V}{\partial h} &= \dfrac{\pi}{3} r^2. \end{aligned}\right\}
\]
</p>
<p>
Зміна об'єму, коли і радіус, і висота змінюються, визначається як $dV =
\dfrac{2\pi}{3} rh\, dV + \dfrac{\pi}{3} r^2\, dh$.
</p>
<p>
<a name="example4" /><em>Приклад (4)</em><a name="Example4" /> У наступному
прикладі $F$ і $f$ позначають дві довільні функції будь-якої форми. Наприклад,
це можуть бути синус-функції, чи експоненти, чи просто алгебраїчні функції
двох незалежних змінних $t$ і $x$. Розуміючи це, візьмемо вираз \begin{align*}
y &= F(x+at) + f(x-at), \\ \text{або,}\;\quad y &= F(w ) + f(v); \\
\text{де}\;\quad w &= x+at,\quad \text{і}\quad v = x-at. \\
\text{Тоді}\;\quad \frac{\partial y}{\partial x} &= \frac{\partial
F(w)}{\partial w} · \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial
f(v)}{\partial v} · \frac{\partial v}{\partial x} \\ &= F'(w) · 1 + f'(v)
· 1 \end{align*} (де цифра $1$ це просто коефіцієнт при $x$ у $w$ та $v$)
\begin{align*} \text{і}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} &= F''(w) +
f''(v). && \\ \text{Також}\; \ \frac{\partial y}{\partial t} &=
\frac{\partial F(w)}{\partial w} · \frac{\partial w}{\partial t} +
\frac{\partial f(v)}{\partial v} · \frac{\partial v}{\partial t} \\ &=
F'(w) · a - f'(v) a; \\ \text{і}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &=
F''(w)a^2 + f''(v)a^2; \\ \text{звідки}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
&= a^2\, \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. \end{align*}
</p>
<p>Це диференціальне рівняння має величезне значення в математичній фізиці.</p>
<p></p>
<h2>Максимуми та мінімуми функцій двох незалежних змінних.</h2>
<p>
<a name="example5" /><em>Приклад (5)</em> Знову розглянемо Вправу IX. № 4.
</p>
<p>
Нехай $x$ і $y$ — довжина двох частин мотузки. Третя частина $= 30-(x+y)$, а
площа трикутника $A = \sqrt{s(sx)(sy)(s-30+x+y)}$, де $s$ — половина
периметра, $15$, так що $A = \sqrt{15P}$, де</p>
<p class="mobile">
\begin{align*} P &=
(15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy ^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x +
450y - 3375. \end{align*}
</p>
<p class="desktop">
\begin{align*} P &=
(15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy ^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x +
450y - 3375. \end{align*}
</p>
<p>
Очевидно, що $A$ є максимальною, коли $P$ є максимальним. \[ dP =
\dfrac{\partial P}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial P}{\partial y}\, dy. \]
Для максимуму (зрозуміло, що в цьому випадку це не буде мінімум), потрібно
одночасно мати \[ \dfrac{\partial P}{\partial x} = 0 \quad\text{і}\quad
\dfrac{ \partial P}{\partial y} = 0; \] тобто \begin{aligned} 2xy - 30x + y^2
- 45y + 450 &= 0, \\ 2xy - 30y + x^2 - 45x + 450 &= 0. \end{aligned}
</p>
<p>Очевидним рішенням є $x=y$.</p>
<p>
Якщо тепер ми введемо цю умову в значення $P$, отримаємо</p>
<p class="mobile">\[ P = (15-x)^2
(2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375. \]</p>
<p class="desktop">\[ P = (15-x)^2
(2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375. \]</p>
<p>Для максимуму або мінімуму
$\dfrac{dP}{dx} = 6x^2 - 150x + 900 = 0$, що дає $x=15$ та $x=10$.
</p>
<p>
Зрозуміло, що $x=15$ дає мінімальну площу: $x=10$ дає максимум для $\dfrac{d^2
P}{dx^2} = 12x - 150$, що становить $+30$ для $x=15$ і $-30$ для $x =10$.
</p>
<p>
<a name="example6" /><em>Приклад (6)</em> Знайдіть розміри звичайного
залізничного вугільного вагона з прямокутними торцями, щоб для заданого об’єму
$V$ площа бортів і підлоги разом була якомога меншою.
</p>
<p>
Вагон являє собою відкритий зверху прямокутний ящик. Нехай $x$ — довжина, а
$y$ — ширина; тоді глибина $\dfrac{V}{xy}$. Площа поверхні становить $S=xy +
\dfrac{2V}{x} + \dfrac{2V}{y}$.</p>
<p>\begin{aligned} dS & = \frac{\partial S}{\partial x}\, dx +
\frac{\partial S}{\partial y}\, dy = \\ & = \left(y - \frac{2V}{x^2}\right) dx +
\left(x - \frac{2V}{y^2}\right) dy. \end{aligned} Для мінімуму (очевидно, тут це не буде
максимум), \[ y - \frac{2V}{x^2} = 0,\quad x - \frac{2V}{y^2} = 0. \]
</p>
<p>
Тут також безпосереднім рішенням є $x = y$, так що $S = x^2 +
\dfrac{4V}{x}\quad$, $\dfrac{dS}{dx}= 2x - \dfrac{4V }{x^2} =0$ для мінімуму
та \[ x = \sqrt[3]{2V}. \]
</p>
<p></p>
<hr />
<h3>Вправи XV</h3>
(1) Продиференціюйте вираз $\dfrac{x^3}{3} - 2x^3y - 2y^2x + \dfrac{y}{3}$ лише
відносно $x$ і відносно $y$ поодинці.
<p>
(2) Знайдіть часткові похідні відносно $x$, $y$ і $z$ виразу \[ x^2yz + xy^2z
+ xyz^2 + x^2y^2z^2. \]
</p>
<p>(3) Нехай $r^2 = (xa)^2 + (yb)^2 + (zc)^2$.</p>
<p>
Знайдіть значення $\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial
r}{\partial y} + \dfrac{\partial r}{\partial z}$. Знайдіть також значення
$\dfrac{\partial^2r}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial y^2} +
\dfrac{\partial^2r}{\partial z ^2}$.
</p>
<p>(4) Знайдіть повний диференціал $y=u^v$.</p>
<p>
(5) Знайдіть повний диференціал $y=u^3 \sin v$; $y = (\sin x)^u$; і $y =
\dfrac{\log_\epsilon u}{v}$.
</p>
<p>
(6) Переконайтеся, що сума трьох величин $x$, $y$, $z$, чий добуток є
константою $k$, є максимальною, коли ці три величини рівні.
</p>
<p>(7) Знайдіть максимум або мінімум функції \[ u = x + 2xy + y. \]</p>
<p>
(8) Правила поштового зв’язку стверджують, що жодна посилка не повинна бути
такого розміру, що її довжина плюс обхват перевищують $6$ футів. Який
найбільший об'єм можна надіслати поштою (<em>a</em>) у разі упаковки
прямокутного поперечного перерізу; (<em>b</em>) у випадку упаковки круглого
поперечного перерізу.
</p>
<p>
(9) Розділіть $\pi$ на $3$ частини так, щоб добуток їхніх синусів був
максимальним або мінімальним.
</p>
<p>(10) Знайдіть максимум або мінімум $u = \dfrac{\epsilon^{x+y}}{xy}$.</p>
<p>
(11) Знайдіть максимум і мінімум \[ u = y + 2x - 2 \log_\epsilon y -
\log_\epsilon x. \]
</p>
<p>
(12) Тельферажне відро заданої місткості має форму горизонтальної
рівнобедреної трикутної призми з вершиною внизу та відкритою протилежною
гранню. Знайдіть такі його розміри, щоб на його виготовлення було використано
найменшу кількість листового заліза.
</p>
<p></p>
<h3 class="answers">Відповіді</h3>
<p>(1) $x^3 - 6x^2 y - 2y^2;\quad \frac{1}{3} - 2x^3 - 4xy$.</p>
<p>
(2) $2xyz + y^2 z + z^2 y + 2xy^2 z^2$;<br />
$2xyz + x^2 z + xz^2 + 2x^2 yz^2$;<br />
$2xyz + x^2 y + xy^2 + 2x^2 y^2 z$.
</p>
<p>(3)</p>
<p class="mobile">$\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c
\right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right)
}{r}$; $\dfrac{3}{r}$.
</p>
<p class="desktop">$\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c
\right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right)
}{r}$; $\dfrac{3}{r}$.
</p>
<p>(4) $dy = vu^{v-1}\, du + u^v \log_\epsilon u\, dv$.</p>
<p>
(5) $dy = 3\sin v u^2\, du + u^3 \cos v\, dv$,<br />
$dy = u \sin x^{u-1} \cos x\, dx + (\sin x)^u \log_\epsilon \sin x du$,<br />
$dy = \dfrac{1}{v}\, \dfrac{1}{u}\, du - \log_\epsilon u \dfrac{1}{v^2}\, dv$.
</p>
<p>(7) Мінімум для $x = y = -\frac{1}{2}$.</p>
<p>
(8) (<em>a</em>) Довжина $2$ фути, ширина = глибина = $1$ фут, об'єм = $2$
кубічних фути. (<em>b</em>) Радіус = $\dfrac{2}{\pi}$ фути = $7.46$ дюймів,
довжина = $2$ фути, об'єм = $2.54$.
</p>
<p>(9) Усі три частини рівні; добуток максимальний.</p>
<p>(10) Мінімум для $x = y = 1$.</p>
<p>(11) Мін.: $x = \frac{1}{2}$ і $y = 2$.</p>
<p>
(12) Кут при вершині $= 90°$; рівні сторони = довжина = $\sqrt[3]{2V}$.
<br />
</p>
<div id="share-block" class="share-block">
<!-- <p class="share-invite"> Поділитись </p> -->
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" x="0px" y="0px" width="20" height="20" viewBox="0 0 24 24">
<path fill="#B32424" d="M 18 2 C 16.35499 2 15 3.3549904 15 5 C 15 5.1909529 15.021791 5.3771224 15.056641 5.5585938 L 7.921875 9.7207031 C 7.3985399 9.2778539 6.7320771 9 6 9 C 4.3549904 9 3 10.35499 3 12 C 3 13.64501 4.3549904 15 6 15 C 6.7320771 15 7.3985399 14.722146 7.921875 14.279297 L 15.056641 18.439453 C 15.021555 18.621514 15 18.808386 15 19 C 15 20.64501 16.35499 22 18 22 C 19.64501 22 21 20.64501 21 19 C 21 17.35499 19.64501 16 18 16 C 17.26748 16 16.601593 16.279328 16.078125 16.722656 L 8.9433594 12.558594 C 8.9782095 12.377122 9 12.190953 9 12 C 9 11.809047 8.9782095 11.622878 8.9433594 11.441406 L 16.078125 7.2792969 C 16.60146 7.7221461 17.267923 8 18 8 C 19.64501 8 21 6.6450096 21 5 C 21 3.3549904 19.64501 2 18 2 z M 18 4 C 18.564129 4 19 4.4358706 19 5 C 19 5.5641294 18.564129 6 18 6 C 17.435871 6 17 5.5641294 17 5 C 17 4.4358706 17.435871 4 18 4 z M 6 11 C 6.5641294 11 7 11.435871 7 12 C 7 12.564129 6.5641294 13 6 13 C 5.4358706 13 5 12.564129 5 12 C 5 11.435871 5.4358706 11 6 11 z M 18 18 C 18.564129 18 19 18.435871 19 19 C 19 19.564129 18.564129 20 18 20 C 17.435871 20 17 19.564129 17 19 C 17 18.435871 17.435871 18 18 18 z"></path>
</svg>
</div>
<hr />
<a href="17.html">Далі →</a><br />
<a href="/">Головна сторінка ↑</a><br />
<a href="https://survey.calculusmadeeasy.org.ua/index.php/111939?lang=uk" target="_blank">
Запропонувати виправлення ✍
</a> <br/>
<br/>
<div id="advert-container">
</div>
<script src="j/jquery.js"></script>
<script src="j/modernizr.js"></script>
<script src="j/dih5.js"></script>
<script>
(function () {
const button = document.getElementById('share-block');
const shareUrl = window.location.href;
button.addEventListener('click', async () => {
if (navigator.share) {
try {
await navigator.share({
title: document.title,
url: shareUrl
});
} catch (e) {
}
} else if (navigator.clipboard) {
try {
await navigator.clipboard.writeText(shareUrl);
const oldContent = button.innerHTML;
button.innerHTML = `
<svg class="share-icon" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24">
<path fill="green" d="M20.285 6.709a1 1 0 0 0-1.414-1.414L9 15.167l-4.871-4.872a1 1 0 1 0-1.414 1.414l5.578 5.578a1 1 0 0 0 1.414 0l10.578-10.578z"/>
</svg>
<p class="share-invite">Скопійовано</p>
`;
setTimeout(() => {
button.innerHTML = oldContent;
}, 2000);
} catch (e) {
console.error("Не вдалось скопіювати посилання:", e);
}
}
});
})();
</script>
<script>
function weightedRandom(items) {
// Random number between 0 and totalWeight
const random = Math.random();
// Find the item
let cumulative = 0;
for (const item of items) {
cumulative += item.display_probability;
if (random < cumulative) {
return item;
}
}
return null;
}
(async function () {
const container = document.getElementById("advert-container");
if (!container) return;
let items;
try {
const response = await fetch("/advert/advert.json"); // подгрузка JSON
items = await response.json();
} catch (e) {
console.error("Не вдалося завантажити рекламу:", e);
return;
}
const advert = weightedRandom(items);
if(advert == null) return;
container.innerHTML = `
<aside class="advert">
<div class="advert-body">
<a href="${advert.url}" class="conver-link"><img src="/advert/${advert.cover}" alt="" class="advert-cover" /></a>
<div class="advert-text">
<div class="advert-content">
<div class="advert-title">${advert.title}</div>
<div class="advert-description">${advert.description}</div>
<a href="${advert.url}" class="advert-link" target="_blank" rel="noopener">Допомогти →</a>
</div>
${advert.include_affiliate_message ? `
<div class="advert-affiliate">
${advert.include_affiliate_message}
</div>` : ""}
</div>
</div>
</aside>
`;
})();
</script>
<script
data-goatcounter="https://calculus-made-easy-ua.goatcounter.com/count"
async
src="//gc.zgo.at/count.js"
></script>