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<head>
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<meta name="Author" content="Dario Alejandro Alpern">
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<ul class="atright"><li><a href="GAUSSIAN.HTM" hreflang="en" title="This Web page in English">ENG</a></li></ul>
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<article>
<h1>Factorización de enteros gaussianos</h1>
<div class="pad">
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<span property="name">Factorización de enteros gaussianos</span>
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<fieldset id="actions"><legend>Acciones</legend>
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<button type="button" id="more" title="Cambiar número de curva o ingresar factor">Más</button>
<button type="button" id="eval" title="Evaluar la expresión pero no factorizar">Sólo<br>evaluar</button>
<button type="button" id="factor" title="Factorizar la expresión">Factorizar</button>
<button type="button" id="stop" title="Detener el cálculo">Parar</button>
<button type="button" id="helpbtn" title="Mostrar el uso de la aplicación y la teoría matemática utilizada">Ayuda</button>
<button type="button" id="config" title="Cambiar los parámetros de uso de la aplicación">Config</button>
<button type="button" id="clrinput" title="Limpiar la caja de entrada">Borrar<br>entrada</button>
</div>
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<fieldset id="functions"><legend>Funciones</legend>
<label for="funccat">Categorías:</label>
<select id="funccat">
<optgroup label="Funciones u operadores">
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<option value="1">Divisibilidad</option>
<option value="2">Matemática recreativa</option>
<option value="3">Teoría de números</option>
<option value="4">Otros</option>
<option value="5">Entrada hexadecimal</option>
</optgroup>
</select>
<div id="funcbtns">
<button type="button">(</button><button type="button">)</button><button type="button">i</button><button type="button">+</button><button type="button">-</button><button type="button">*</button><button type="button">/</button><button type="button">%</button><button type="button">^</button><button type="button">ans</button><button type="button">Re(</button><button type="button">Im(</button><button type="button">Norm(</button><button type="button">Random(</button>
</div>
</fieldset>
</div>
<div id="help" aria-live="polite">
<p>Esta aplicación Web factoriza enteros gaussianos como un producto de primos gaussianos.</p>
<p>Los enteros gaussianos son números complejos que tienen la forma <var>a</var> + <var>b</var>i, donde <var>a</var> y <var>b</var> son números enteros en la recta real.</p>
<p>La factorización es única, si no consideramos el orden de los factores y los primos asociados. Estos conjuntos de primos asociados se obtienen multiplicando un primo por una potencia de i (por eso cada número primo tiene tres asociados). Para eliminar este problema, tomamos el primo tal que <var>a</var> >= |<var>b</var>|.</p>
<h2>Cómo factorizar enteros gaussianos</h2>
<p>Un concepto importante necesario para la factorización de enteros gaussianos es la norma. Ésta se define como: <span role="math" aria-label="norma de a más b i es igual a a al cuadrado más b al cuadrado">N(<var>a</var>+<var>b</var>i) = <var>a</var><sup>2</sup> + <var>b</var><sup>2</sup></span>.</p>
<p>El producto de la norma de dos enteros gaussianos es igual a la norma del producto de estos números como se muestra a continuación:</p>
<p>N(<var>a</var>+<var>b</var>i) N(<var>c</var>+<var>d</var>i) =
(<var>a</var><sup>2</sup> + <var>b</var><sup>2</sup>) (<var>c</var><sup>2</sup> + <var>d</var><sup>2</sup>) =
(<var>a</var><var>c</var>)<sup>2</sup> + (<var>b</var><var>d</var>)<sup>2</sup> + (<var>a</var><var>d</var>)<sup>2</sup> + (<var>b</var><var>c</var>)<sup>2</sup> =
(<var>a</var><var>c</var>)<sup>2</sup> - 2<var>a</var><var>b</var><var>c</var><var>d</var> + (<var>b</var><var>d</var>)<sup>2</sup> + (<var>a</var><var>d</var>)<sup>2</sup> + 2<var>a</var><var>b</var><var>c</var><var>d</var> + (<var>b</var><var>c</var>)<sup>2</sup> =
(<var>a</var><var>c</var>-<var>b</var><var>d</var>)<sup>2</sup> + (<var>a</var><var>d</var>+<var>b</var><var>c</var>)<sup>2</sup> =
N((<var>a</var><var>c</var>-<var>b</var><var>d</var>)+(<var>a</var><var>d</var>+<var>b</var><var>c</var>)i) =
N(<var>a</var>(<var>c</var>+<var>d</var>i) + <var>b</var>(-<var>d</var>+<var>c</var>i)) =
N(<var>a</var>(<var>c</var>+<var>d</var>i) + <var>b</var>i(<var>c</var>+<var>d</var>i)) =
N((<var>a</var>+<var>b</var>i) (<var>c</var>+<var>d</var>i))</p>
<p>En la penúltima expresión nos valemos de la propiedad i<sup>2</sup> = -1.</p>
<p>Esto significa que como primer paso para factorizar números gaussianos, debemos hallar los factores primos de su norma, así obtenemos las normas de los factores del número original.</p>
<p>El segundo paso consiste en obtener los factores a partir de las normas halladas.</p>
<p>Existen tres casos:</p>
<ol>
<li>El factor primo <var>p</var> de la norma es 2: en este caso los factores primos del entero gaussiano pueden ser 1+i o 1-i (hay que probar cuál divide al número).</li>
<li>El factor primo <var>p</var> de la norma es múltiplo de 4 más 3: este valor no se puede expresar como suma de dos cuadrados, así que <var>p</var> no es una norma, pero <var>p</var><sup>2</sup> sí lo es.
Como <var>p</var><sup>2</sup> = <var>p</var><sup>2</sup> + 0<sup>2</sup>, y no existe una norma prima que divida <var>p</var><sup>2</sup>, el número <var>p</var> + 0i es un primo gaussiano, y deberemos descartar el factor repetido <var>p</var>.</li>
<li>El factor primo <var>p</var> de la norma es múltiplo de 4 más 1: este número se puede expresar como suma de dos cuadrados utilizando los métodos explicados en la página de <a href="https://www.alpertron.com.ar/4CUADR.HTM">suma de cuadrados</a>.
Si <var>p</var> = <var>m</var><sup>2</sup> + <var>n</var><sup>2</sup>, entonces deberemos verificar si <var>m</var> + <var>n</var>i o <var>m</var> − <var>n</var>i son divisores del número gaussiano original.</li>
</ol>
<p>¿Por qué un número que es múltiplo de 4 más 3 no puede expresarse como suma de cuadrados? Esto se debe a que el cuadrado de un número par es múltiplo de 4 y el cuadrado de un número impar es múltiplo de 4 más 1. De esta manera obtenemos:</p>
<ul>
<li>par<sup>2</sup> + par<sup>2</sup> = múltiplo de 4</li>
<li>par<sup>2</sup> + impar<sup>2</sup> = múltiplo de 4 más 1</li>
<li>impar<sup>2</sup> + par<sup>2</sup> = múltiplo de 4 más 1</li>
<li>impar<sup>2</sup> + impar<sup>2</sup> = múltiplo de 4 más 2</li>
</ul>
<p>Así que bajo ninguna circunstancia una suma de dos cuadrados puede ser múltiplo de 4 más 3.</p>
<p>Por supuesto el primer paso es mucho más complicado que el segundo. Esto es porque no conocemos métodos eficientes de factorización de números enteros.</p>
<p>Ejemplo: factorizar el entero gaussiano 440 − 55i</p>
<p>La norma es 440<sup>2</sup> + 55<sup>2</sup> = 196625 = 5 × 5 × 5 × 11 × 11 × 13</p>
<p>Tanto 5 como 13 son múltiplos de 4 más 1 mientras que 11 es múltiplo de 4 más 3. Podemos valernos de 5 = 2<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> y 13 = 3<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup></p>
<p>Como 11 es un primo gaussiano, podemos dividir el número original por 11 y hallamos el cociente 40 − 5i.</p>
<p>Para los tres factores de la norma iguales a 5, deberemos dividir el resultado del paso anterior 40 − 5i por 2 − i o por 2 + i. Obtenemos: 40 − 5i = (2 + i)<sup>2</sup> × (2 − i) × (3 − 2i)</p>
<p>Para el factor 13 deberemos dividir el resultado del paso anterior 3 − 2i por 3 + 2i o por 3 − 2i. Por supuesto solo 3 − 2i divide a 3 − 2i.</p>
<p>La factorización completa es: 440 − 55i = 11 × (2 + i)<sup>2</sup> × (2 − i) × (3 − 2i).</p>
<h2>Expresiones</h2>
<p>Para ingresar la parte imaginaria de un entero gaussiano podrá utilizar el símbolo i, como por ejemplo en 3+4i.</p>
<p>Además puede entrar expresiones que usen los siguientes operadores, funciones y paréntesis:</p>
<ul>
<li> + para suma.</li>
<li> - para resta.</li>
<li> * para multiplicación.</li>
<li> / para división entera.</li>
<li> % para módulo (resto de la división).</li>
<li> ^ para exponenciación (el exponente debe ser real y mayor o igual que cero).</li>
<li> <strong>Ans</strong>: obtiene la última respuesta.</li>
<li> <strong>n!</strong>: factorial (<var>n</var> debe ser real y mayor o igual que cero).</li>
<li> <strong>n!! ... !</strong>: factorial múltiple (<var>n</var> debe ser real y mayor o igual que cero). Es el producto de <var>n</var> por <var>n</var> − <var>k</var> por <var>n</var> − <var>2k</var> ... (todos los números son mayores que cero) donde <var>k</var> es la cantidad de signos de exclamación. Ejemplo: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105.</li>
<li> <strong>p#</strong>: primorial (producto de todos los primos menores o iguales que <var>p</var>).</li>
<li> <strong>F(n)</strong>: número de Fibonacci F<sub>n</sub>.</li>
<li> <strong>L(n)</strong>: número de Lucas L<sub>n</sub> = F<sub>n-1</sub> + F<sub>n+1</sub>.</li>
<li> <strong>P(n)</strong>: particiones irrestrictas (cantidad de descomposiciones de <var>n</var> en sumas de numeros enteros sin tener en cuenta el orden).</li>
<li> <strong>Re(n)</strong>: parte real de <var>n</var>.</li>
<li> <strong>Im(n)</strong>: parte imaginaria de <var>n</var>.</li>
<li> <strong>Norm(n)</strong>: norma de <var>n</var>, equivale a Re(n)<sup>2</sup> + Im(n)<sup>2</sup>.</li>
<li> <strong>Gcd(m,n, ...)</strong>: máximo común divisor de estos números enteros gausianos. Ejemplo: GCD(1+i, 2) = 1+i.</li>
<li> <strong>Lcm(m,n, ...)</strong>: mínimo común múltiplo de estos números enteros gausianos. Ejemplo: LCM(1+i, 2, 4) = 4.</li>
<li> <strong>Modinv(m,n)</strong>: inverso del valor <var>m</var> módulo <var>n</var>, sólo válido si gcd(m,n)=1.</li>
<li> <strong>Modpow(m,n,r)</strong>: calcula <var>m</var><sup><var>n</var></sup> módulo <var>r</var> (<var>n</var> debe ser real).</li>
<li> <strong>Random(m,n)</strong>: número gausiano aleatorio cuyos valores real e imaginario se encuentra entre los valores real e imaginario de <var>m</var> y <var>n</var> respectivamente.</li>
<li> <strong>isPrime(n)</strong>: Verifica si el entero gausiano es primo probable. En este caso retorna −1, en caso contrario, cero.</li>
</ul>
<p>Puedes usar el prefijo <em>0x</em> para números hexadecimales, por ejemplo 0x38 es igual a 56.</p>
<div class="noand">
<h2>Configuración</h2>
<p>Puedes cambiar la configuración de esta aplicación apretando el botón <strong>Config</strong> mientras el programa no está factorizando. En ese momento aparecerá una nueva ventana donde puedes seleccionar los siguientes ajustes:</p>
<ul>
<li><strong>Dígitos por grupo</strong>: Para mejorar la legibilidad, los números grandes se separan mediante espacios formando grupos de una cantidad fija de dígitos. Con esta caja de entrada, puedes determinar la cantidad de dígitos por grupo.</li>
<li><strong>Salida hexadecimal</strong>: Indica que los valores mostrados en pantalla deben figurar en hexadecimal en vez de decimal, que es lo habitual.
Para ingresar números en el formato hexadecimal es necesario que tengan los caracteres 0x adelante. Por ejemplo, 0x38 = 56. El programa muestra números en hexadecimal con tipo monoespaciado.</li>
<li><strong>Teclado</strong>: Esto permite que el usuario seleccione entre el teclado virtual númerico o completo (alfanumérico). El teclado virtual aparece en la pantalla cuando el usuario selecciona una caja de entrada en pantallas táctiles.</li>
</ul>
<p>La configuración se almacena en tu dispositivo, así que si arrancas nuevamente la calculadora, los ajustes no se modificarán.</p>
<h2>Código fuente</h2>
<p>Puedes bajar el código fuente del programa actual y del viejo applet de factorización de enteros gaussianos desde <a href="https://github.com/alpertron/calculators">GitHub</a>. El código fuente está escrito en lenguaje C, por lo que es necesario <a href="https://emscripten.org/docs/getting_started/downloads.html">Emscripten</a> para generar JavaScript.</p>
</div>
<p>Escrito por Dario Alpern. Actualizado el 12 de diciembre de 2025.</p>
</div>
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<p><span class="new">¡Nuevo!</span> Puedes instalar una aplicación para Android que incluye esta calculadora desde <a href="https://play.google.com/store/apps/details?id=ar.com.alpertron.calculators">Google Play</a>.</p>
<p>Si encuentra algún error o tiene algún comentario, por favor llene el <a href="#" id="formlink">formulario</a>.</p>
<p>Si le gustan estas calculadoras y desea soportar el software libre sin propagandas molestas, puede <a href="https://www.PayPal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=MR65QPWZM5JT6&source=url&locale.x=es_ES">donar a través de PayPal</a>.</p>
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<div class="modal-header"><span id="close-more" aria-label="close" class="atright">×</span><p id="moreopt">Más opciones</p></div>
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<p><label for="curve">Nuevo número de curva o factor:</label></p><input type="number" id="curve" value="" class="input" min="0" step="1">
<input type="button" id="ncurve" value="Nueva curva" title="Cambiar el número de curva para el algoritmo ECM. Ingrese cero para cambiar al algoritmo SIQS.">
<input type="button" id="nfactor" value="Nuevo factor" title="Ingrese factor conocido">
</div>
</div></div></div>
<div id="modal-config" class="modal" role="dialog" aria-labelledby="conf">
<div class="modal-content">
<div class="modal-header"><span id="close-config" aria-label="close" class="atright">×</span><p id="conf">Configuración</p></div>
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<div class="applet">
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<legend>Parámetros de configuración</legend>
<p><label for="digits">Dígitos por grupo</label> <input type="number" id="digits" value="6" min="0" max="10000" step="1"></p>
<p><label for="kbd">Teclado: </label><select id="kbd"><option value="num">Numérico</option><option value="comp">Completo</option></select>
<p><input type="checkbox" id="hex"><label for="hex">Salida hexadecimal</label></p>
</fieldset>
<p><input type="button" id="save-config" value="Aceptar" title="Almacenar la nueva configuración"><input type="button" id="cancel-config" value="Cancelar" title="Descartar los cambios hechos a la configuración"></p>
</div>
</div></div></div>
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<div id="btn1">Suma,+,Resta,-,Multiplicación,*,División,/,Resto,%,Potencia,^,Resultado anterior,ans,Parte real,Re1,Parte imaginaria,Im1,Norma\n\nRe(z)^2 + Im(z)^2,Norm1,Número aleatorio\n\nPrimer argumento: mínimo valor del número aleatorio\nSegundo argumento: máximo valor del número aleatorio,Random2</div>
<div id="btn2">,,Máximo común divisor\n\nSe pueden usar uno o más argumentos,GCD2,Mínimo común múltiplo\n\nSe pueden usar uno o más argumentos,LCM2,¿El valor es primo?,IsPrime1</div>
<div id="btn3">Primo siguiente,N1,Primo anterior,B1</div>
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<div id="parens">Paréntesis izquierdo,(,Paréntesis derecho,),Unidad imaginaria,i,</div>
<div id="nowebassy">Esta es la versión JavaScript.</div>
<div id="webassy">Esta es la versión WebAssembly.</div>
<div id="firstLine">Aprieta el botón <strong>Ayuda</strong> para obtener ayuda para esta aplicación. Apriétalo de nuevo para retornar a la factorización.</div>
<div id="missing">Por favor ingrese un número o expresión.</div>
<div id="factoring">Factorizando la expresión...</div>
<div id="stopped"><p>Cálculo detenido por el usuario.</p></div>
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