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<script type="text/wasmb64" id="wasmb64">
</script>
<noscript>
<style>
.applet {display:none}
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</head>
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<div id="skip"><a href="#main">Ir al contenido principal</a></div>
<nav aria-label="Navegación principal">
<ul role="menubar">
<li role="menuitem" aria-haspopup="true" aria-expanded="false" tabindex="0">Electrónica
<ul role="menu" class="alignleft popup">
<li role="menuitem"><a href="INTEL.HTM" title="Todos los microprocesadores de Intel desde el 4004 al Pentium">Microprocesadores Intel</a></li>
</ul>
</li>
<li role="menuitem" aria-haspopup="true" aria-expanded="false" tabindex="-1">Matemáticas
<ul role="menu" class="alignleft popup">
<li role="menuitem"><a href="CALDORAS.HTM" title="Aplicaciones web que implementan calculadoras">Calculadoras</a></li>
<li role="menuitem"><a href="TNUMEROS.HTM" title="Artículos y programas sobre teoría de números">Teoría de números</a></li>
<li role="menuitem"><a href="PROBLEMAS.HTM" title="Problemas matemáticos interesantes">Problemas</a></li>
</ul>
</li>
<li role="menuitem" aria-haspopup="true" aria-expanded="false" tabindex="-1">Programas
<ul role="menu" class="alignright popup">
<li role="menuitem"><a href="ENSAM386.HTM" title="Programas escritos en lenguaje ensamblador del 80386">Assembler 80386</a></li>
<li role="menuitem"><a href="PROGJAVA.HTM" title="Aplicaciones web con JavaScript y WebAssembly">Aplicaciones web</a></li>
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<li class="alignright" role="menuitem" aria-haspopup="true" aria-expanded="false" tabindex="-1">Contacto
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</li>
</ul>
<ul class="atright"><li><a href="ECM.HTM" hreflang="en" title="This Web page in English">ENG</a></li></ul>
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<main id="main">
<article>
<h1>Calculadora de factorización de números enteros</h1>
<div class="pad">
<ol class="bread" vocab="https://schema.org/" typeof="BreadcrumbList">
<li property="itemListElement" typeof="ListItem">
<a property="item" typeof="WebPage" href="/"><span property="name">Alpertron</span></a>
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</li>
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<a property="item" typeof="WebPage" href="PROGJAVA.HTM"><span property="name">Aplicaciones web</span></a>
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</li>
<li property="itemListElement" typeof="ListItem">
<span property="name">Calculadora de factorización de números enteros</span>
<meta property="position" content="3">
</li>
</ol>
</div>
<noscript><p><strong>Esta calculadora requiere tener JavaScript habilitado. Por favor revise la configuración de su navegador.</strong></p></noscript>
<div class="applet" id="valueapp">
<div id="inputs">
<label for="value">Valor</label>
<textarea inputmode="numeric" id="value" rows="4" class="input customKbd"></textarea>
</div>
<fieldset id="actions"><legend>Acciones</legend>
<div class="actbtn">
<button type="button" id="more" title="Cambiar el número de curva o ingresar un factor">Más</button>
<button type="button" id="eval" title="Evaluar la expresión sin factorizarla">Solo<br>evaluar</button>
<button type="button" id="prime" title="Indicar si la expresión es un número primo sin factorizarla">¿Es<br>primo?</button>
<button type="button" id="factor" title="Factorizar la expresión ingresada">Factorizar</button>
<button type="button" id="stop" title="Detener los cálculos en ejecución">Parar</button>
<button type="button" id="helpbtn" title="Mostrar el uso de la aplicación y la teoría matemática utilizada">Ayuda</button>
<button type="button" id="config" title="Modificar los parámetros de uso de la aplicación">Config</button>
<button type="button" id="openwizard" title="Asistir en el ingreso de expresiones y ciclos">Abrir<br>asistente</button>
<button type="button" id="fromfile" title="Evaluar o factorizar varias expresiones desde un archivo">Desde<br>archivo</button>
<button type="button" id="bmode" title="Programar la calculadora mediante bloques">Modo<br>Blockly</button>
<button type="button" id="clrinput" title="Limpiar la caja de entrada">Borrar<br>entrada</button>
<input type="file" id="getFile" accept=".txt" aria-label="Seleccione archivo">
<label for="getFile" id="lgetFile">Seleccione archivo</label>
</div>
</fieldset>
<fieldset id="functions"><legend>Funciones</legend>
<div>
<label for="funccat">Categoría:</label>
<select id="funccat">
<optgroup label="Funciones u operadores">
<option value="0" selected>Matemática básica</option>
<option value="1">Procesamiento en lotes</option>
<option value="2">Comparaciones</option>
<option value="3">Lógica</option>
<option value="4">Divisibilidad</option>
<option value="5">Matemática recreativa</option>
<option value="6">Teoría de números</option>
<option value="7">Otros</option>
<option value="8">Entrada hexadecimal</option>
</optgroup>
</select>
</div>
<div class="funcbtns" id="funcbtns">
<button type="button">(</button><button type="button">)</button><button type="button">⏎</button>
<button type="button">+</button><button type="button">-</button><button type="button">*</button>
<button type="button">/</button><button type="button">%</button><button type="button">^</button>
<button type="button">ans</button><button type="button">sqrt(</button><button type="button">iroot(</button>
<button type="button">Random(</button><button type="button">Abs(</button><button type="button">Sign(</button>
</div>
</fieldset>
<p id="explan">Escriba una expresión numérica o un ciclo por línea. Ejemplo: x=3;x=n(x);c<=100;x‑1</p>
</div>
<div id="help" aria-live="polite">
<p>Esta aplicación web le permite factorizar números o expresiones numéricas utilizando dos algoritmos rápidos: el método de curvas elípticas (ECM) y el método de criba cuadrática especial (SIQS).</p>
<p>El programa utiliza almacenamiento local para recordar el avance de la factorización. Esto le permite continuar la factorización de un número grande en varias sesiones: basta con recargar esta página para reanudar el proceso exactamente donde quedó.</p>
<div class="noand">
<p>Todos los cálculos se realizan de manera local en su computadora. Por este motivo, podrá desconectarla de Internet mientras la factorización continúa sin interrupciones. Una vez ejecutada por primera vez, esta aplicación puede iniciarse sin conexión.</p>
<p>El código fuente está escrito en lenguaje C y se compila a JavaScript y WebAssembly, que son formatos comprendidos por los navegadores web. WebAssembly suele ser más rápido, aunque no todos los navegadores lo soportan. Podrá ver qué versión se está utilizando al factorizar un número.</p>
</div>
<p>Existe una <a href="/videos/videosEcmc.htm">lista de videos</a> sobre el funcionamiento de esta calculadora.</p>
<p>También puede consultar los <a href="RECECM.HTM" title="Récords de factorización ECM">récords de factorización</a> obtenidos con esta aplicación.</p>
<h2><button type="button">Expresiones</button></h2>
<div class="panel" id="exprorig">
<p>Usted puede ingresar expresiones que utilicen los siguientes operadores y paréntesis:</p>
<ul>
<li> <strong>+</strong> para suma.</li>
<li> <strong>-</strong> para resta.</li>
<li> <strong>*</strong> para multiplicación.</li>
<li> <strong>/</strong> para división entera.</li>
<li> <strong>%</strong> para obtener el resto de la división entera.</li>
<li> <strong>^</strong> o <strong>**</strong> para exponenciación (el exponente debe ser mayor o igual que cero).</li>
<li> <strong><</strong>, <strong>==</strong>, <strong>></strong>,
<strong><=</strong>, <strong>>=</strong>, <strong>!=</strong> para comparaciones.
Estos operadores devuelven cero si la comparación es falsa y –1 si es verdadera.</li>
<li> <strong>Ans</strong>: obtiene la última respuesta generada.</li>
<li> <strong>AND</strong>, <strong>OR</strong>, <strong>XOR</strong>, <strong>NOT</strong>
para operaciones de lógica binaria.
Las operaciones se realizan en base 2.
Los números positivos se rellenan con infinitos ceros a la izquierda, y los negativos con infinitos unos.</li>
<li> <strong>SHL</strong> o <strong><<</strong>:
Si <var>b</var> ≥ 0, <var>a</var> SHL <var>b</var> desplaza <var>a</var> hacia la izquierda <var>b</var> bits, lo que equivale a multiplicar por 2<sup>b</sup>.
Si <var>b</var> < 0, desplaza <var>a</var> a la derecha –<var>b</var> bits, equivalente a floor(<var>a</var> / 2<sup>−b</sup>).
Ejemplo: 5 SHL 3 = 40.</li>
<li> <strong>SHR</strong> o <strong>>></strong>:
Si <var>b</var> ≥ 0, <var>a</var> SHR <var>b</var> desplaza <var>a</var> a la derecha <var>b</var> bits, equivalente a floor(<var>a</var> / 2<sup>b</sup>).
Si <var>b</var> < 0, desplaza <var>a</var> a la izquierda –<var>b</var> bits.
Ejemplo: –19 SHR 2 = –5.</li>
<li><strong>n!</strong>: factorial de <var>n</var> (con <var>n</var> ≥ 0).
Ejemplo: 6! = 720.</li>
<li><strong>n!!...!</strong>: factorial múltiple.
Es el producto de <var>n</var>, <var>n</var>–<var>k</var>, <var>n</var>–2<var>k</var>, etc., donde <var>k</var> es la cantidad de signos de exclamación, y todos los valores deben ser positivos.
Ejemplo: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105.</li>
<li><strong>p#</strong>: primorial, es decir, el producto de los números primos ≤ <var>p</var>.
Ejemplo: 12# = 2310.</li>
<li><strong>B(n)</strong>: número probablemente primo inmediatamente anterior a <var>n</var>. Ejemplo: B(24) = 23.</li>
<li><strong>F(n)</strong>: número de Fibonacci F<sub>n</sub>, donde la sucesión inicia en 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
Ejemplo: F(7) = 13.</li>
<li><strong>L(n)</strong>: número de Lucas L<sub>n</sub> = F<sub>n–1</sub> + F<sub>n+1</sub>.</li>
<li><strong>N(n)</strong>: número probablemente primo inmediatamente posterior a <var>n</var>. Ejemplo: N(24) = 29.</li>
<li><strong>P(n)</strong>: número de particiones irrestrictas de <var>n</var> (descomposiciones en sumas sin importar el orden).
Ejemplo: P(4) = 5.</li>
<li><strong>Gcd(m,n,...)</strong>: máximo común divisor.
Ejemplo: GCD(12,16) = 4.</li>
<li><strong>Lcm(m,n,...)</strong>: mínimo común múltiplo.
Ejemplo: LCM(12,16,24) = 48.</li>
<li><strong>FloorDiv(m,n)</strong>: parte entera del cociente m/n.
Ejemplos: floordiv(10,7) = 1, floordiv(–10,7) = –2.</li>
<li><strong>Mod(m,n)</strong>: m módulo |n|.
Ejemplos: Mod(10,7)=3, Mod(–10,7)=4.</li>
<li><strong>Modinv(m,n)</strong>: inverso modular de <var>m</var> módulo <var>n</var>, solo válido cuando ambos números son coprimos.
Ejemplo: Modinv(3,7) = 5.</li>
<li><strong>Modpow(m,n,r)</strong>: calcula m<sup>n</sup> mod r.
Ejemplo: Modpow(3,4,7) = 4.</li>
<li><strong>Totient(n)</strong>: cantidad de enteros positivos menores que <var>n</var> que son coprimos con él.
Ejemplo: Totient(6) = 2.</li>
<li><strong>Jacobi(m,n)</strong>: símbolo de Jacobi.</li>
<li><strong>Random(m,n)</strong>: número entero aleatorio entre <var>m</var> y <var>n</var>.</li>
<li><strong>Abs(n)</strong>: valor absoluto.</li>
<li><strong>Sign(n)</strong>: devuelve 0 si n = 0, 1 si n > 0, –1 si n < 0.</li>
<li><strong>IsPrime(n)</strong>: devuelve –1 si n es primo probable y 0 si no lo es.</li>
<li><strong>Sqrt(n)</strong>: parte entera de la raíz cuadrada.</li>
<li><strong>Iroot(n,r)</strong>: raíz entera r-ésima.
Ejemplo: Iroot(8,3) = 2.</li>
<li><strong>NumFact(n)</strong>: cantidad de factores primos distintos.
Ejemplo: NumFact(28) = 2.</li>
<li><strong>MinFact(n)</strong>: menor factor primo.
Ejemplo: MinFact(28) = 2.</li>
<li><strong>MaxFact(n)</strong>: mayor factor primo.
Ejemplo: MaxFact(28) = 7.</li>
<li><strong>NumDivs(n)</strong>: cantidad de divisores positivos.
Ejemplo: NumDivs(28) = 6.</li>
<li><strong>SumDivs(n)</strong>: suma de divisores positivos.
Ejemplo: SumDivs(28)=56.</li>
<li><strong>NumDigits(n,r)</strong>: cantidad de dígitos de <var>n</var> en base r.
Ejemplo: NumDigits(13,2)=4.</li>
<li><strong>SumDigits(n,r)</strong>: suma de dígitos en la base indicada.</li>
<li><strong>RevDigits(n,r)</strong>: invierte los dígitos de <var>n</var> en base r.</li>
<li><strong>ConcatFact(m,n)</strong>: concatena factores primos según el modo especificado.</li>
</ul>
<table>
<caption>Modos de la función ConcatFact</caption>
<tr><th scope="col">Modo</th><th scope="col">Orden de los factores</th><th scope="col">Factores repetidos</th><th scope="col">Ejemplo</th></tr>
<tr><td>0</td><td>Creciente</td><td>No</td><td>concatfact(0,36)=23</td></tr>
<tr><td>1</td><td>Decreciente</td><td>No</td><td>concatfact(1,36)=32</td></tr>
<tr><td>2</td><td>Creciente</td><td>Sí</td><td>concatfact(2,36)=2233</td></tr>
<tr><td>3</td><td>Decreciente</td><td>Sí</td><td>concatfact(3,36)=3322</td></tr>
</table>
<p>Puede usar el prefijo <em>0x</em> para ingresar números hexadecimales.
Por ejemplo, 0x38 es igual a 56.</p>
</div>
<h2><button type="button">Factorización usando el método de curvas elípticas (ECM)</button></h2>
<div class="panel">
<p>La notación <var>k</var> ≡ <var>m</var> (mod <var>n</var>) significa que el resto de la división de <var>k</var> entre <var>n</var> es igual al resto de la división de <var>m</var> entre <var>n</var>. Al número <var>n</var> se lo denomina módulo.</p>
<p>Este método calcula puntos en curvas elípticas, las cuales se representan mediante fórmulas como <var>y</var>² ≡ <var>x</var>³ + <var>a</var><var>x</var> + <var>b</var> (mod <var>n</var>), donde <var>n</var> es el número que se desea factorizar.</p>
<p>En la siguiente imagen, usted puede ver los puntos (<var>x</var>, <var>y</var>) que cumplen <var>y</var>² ≡ <var>x</var>³ + 4<var>x</var> + 7 (mod <var>29</var>). Dado que los cálculos usan aritmética modular (en este caso tomando el resto de la división por 29), solo existen los pares de enteros (<var>x</var>, <var>y</var>) que satisfacen la ecuación. Por ello, la curva se muestra como un conjunto de puntos discretos en lugar de una línea continua, como ocurriría si trabajáramos con números reales.</p> <div class="lf"></div> <canvas id="ellCurve" width="313" height="313"></canvas>
<p>Además de estos puntos, la curva incluye un elemento especial denominado O, o punto en el infinito.</p>
<p>Mediante fórmulas algebraicas específicas, es posible definir una ley de suma, de modo que la suma de dos puntos (<var>x</var><sub>1</sub>, <var>y</var><sub>1</sub>) y (<var>x</var><sub>2</sub>, <var>y</var><sub>2</sub>) pertenecientes a la curva produce otro punto (<var>x</var><sub>3</sub>, <var>y</var><sub>3</sub>) que también pertenece a la curva.</p>
<p>Si usted suma repetidamente un punto <var>P</var> = (<var>x</var>, <var>y</var>) consigo mismo (proceso llamado <em>multiplicación de puntos</em>), obtiene múltiplos de ese punto, usualmente escritos como 2<var>P</var>, 3<var>P</var>, 4<var>P</var>, etc.</p>
<p>Cuando el módulo es un número primo y se cumple que 4<var>a</var>³ + 27<var>b</var>² <span class="tnr">≢</span> 0 (mod <var>p</var>), los puntos de la curva elíptica (incluyendo el punto O) forman una estructura matemática llamada grupo. El orden del grupo es la cantidad total de puntos. En el gráfico se observan 31 puntos visibles. Si incluimos el punto en el infinito, el grupo tiene 32 puntos, que constituye su orden. Como O + O = O, si multiplicamos cualquier punto por un múltiplo del orden del grupo, obtenemos el punto O.</p>
<p>Aunque el orden del grupo es difícil de calcular, siempre está cercano al valor del módulo según el teorema de Hasse. Si cambiamos la curva, obtenemos un grupo diferente y, por lo tanto, un orden distinto.</p>
<p>Para factorizar un número <var>n</var>, realizamos multiplicaciones de puntos hasta encontrar un múltiplo del orden del grupo correspondiente a alguno de los factores primos de <var>n</var>. En ese momento, un cálculo de máximo común divisor puede revelar dicho factor.</p>
<p>Para cada curva elíptica, intentamos alcanzar el punto en el infinito comenzando desde un punto aleatorio (<var>x</var>, <var>y</var>) perteneciente a una curva elíptica aleatoria <var>y</var>² ≡ <var>x</var>³ + <var>a</var><var>x</var> + <var>b</var> (mod <var>n</var>). Como resolver ecuaciones cuadráticas o cúbicas módulo un número compuesto es muy difícil, conviene elegir valores aleatorios para <var>x</var>, <var>y</var> y <var>a</var>. Luego podemos calcular <var>b</var> ≡ <var>y</var>² − <var>x</var>³ − <var>a</var><var>x</var> (mod <var>n</var>).</p>
<p>En el primer paso del algoritmo, multiplicamos el punto por potencias de diversos números primos menores que un límite denominado B1. Al calcular el máximo común divisor entre la coordenada <var>x</var> del punto obtenido y el número a factorizar, es posible obtener un factor primo de <var>n</var>, siempre que todos los factores primos del orden del grupo sean menores que B1.</p>
<p>Usando el punto obtenido en el Paso 1, el Paso 2 calcula nuevos múltiplos de ese punto para todos los primos entre B1 y B2. Luego multiplicamos las coordenadas <var>x</var> de todos los puntos hallados en este segundo paso. Finalmente, calculamos el máximo común divisor entre ese producto y el número a factorizar. En este caso, el algoritmo puede encontrar el factor buscado si todos los factores primos (excepto uno) del orden del grupo son menores que B1, y si el mayor de dichos factores es menor que B2.</p>
<p>Si el máximo común divisor es igual a 1 (o igual a <var>n</var>), entonces esa curva no permitió hallar un factor. En ese caso, el algoritmo prueba con otra curva aleatoria: es necesario cambiar el punto inicial (<var>x</var>, <var>y</var>) y el parámetro <var>a</var>, y calcular el nuevo valor de <var>b</var> mediante la misma fórmula.</p>
<p>El programa utiliza muchas optimizaciones del método ECM que están fuera del alcance de esta sección de ayuda.</p>
<p>El tiempo de ejecución depende principalmente del tamaño del segundo mayor factor primo de <var>n</var> y de la velocidad de su computadora.</p>
<div class="tableCurves">
<table>
<caption>Valores óptimos de B1 y curvas esperadas</caption>
<tr><th scope="col">Dígitos</th><th scope="col">Valores de B1</th><th scope="col">Curvas esperadas</th></tr>
<tr><td>15</td><td>2.000</td><td>25</td></tr>
<tr><td>20</td><td>11.000</td><td>90</td></tr>
<tr><td>25</td><td>50.000</td><td>300</td></tr>
<tr><td>30</td><td>250.000</td><td>700</td></tr>
<tr><td>35</td><td>1.000.000</td><td>1.800</td></tr>
<tr><td>40</td><td>3.000.000</td><td>5.100</td></tr>
<tr><td>45</td><td>11.000.000</td><td>10.600</td></tr>
<tr><td>50</td><td>43.000.000</td><td>19.300</td></tr>
<tr><td>55</td><td>110.000.000</td><td>49.000</td></tr>
<tr><td>60</td><td>260.000.000</td><td>124.000</td></tr>
<tr><td>65</td><td>850.000.000</td><td>210.000</td></tr>
<tr><td>70</td><td>2.900.000.000</td><td>340.000</td></tr>
</table></div>
<p>El programa prueba aproximadamente la cantidad de curvas indicada en la tabla, dependiendo del valor B1 seleccionado (hasta un máximo de 110.000.000), hasta que se encuentran todos los factores.</p>
</div>
<h2><button type="button">Factorización de un número en varias computadoras</button></h2>
<div class="panel">
<p>El algoritmo de factorización ECM se puede ejecutar de manera paralela sin dificultad.
Para hacerlo, inicie el proceso de factorización en la primera computadora desde la curva 1; en la segunda computadora comience desde la curva 10.000; en la tercera computadora desde la curva 20.000; y así sucesivamente.</p>
<p>Para modificar el número de curva, presione el botón <strong>Más</strong>, ingrese el valor en la caja correspondiente que aparece en la nueva ventana y luego pulse <strong>Nueva curva</strong>.</p>
<p>Cuando alguna de las computadoras encuentre un factor, vuelva a presionar el botón <strong>Más</strong>, ingrese el factor hallado y finalmente haga clic en <strong>Factor</strong> para continuar la descomposición en su dispositivo.</p>
</div>
<h2><button type="button">Factorización utilizando el método de criba cuadrática (SIQS)</button></h2>
<div class="panel">
<p>La notación <var>k</var> ≡ <var>m</var> (mod <var>n</var>) significa que el resto de la división de <var>k</var> entre <var>n</var> es igual al resto de la división de <var>m</var> entre <var>n</var>. Al número <var>n</var> se lo denomina módulo.</p>
<p>Sea <var>N</var> el número a factorizar. Este número no debe ser una potencia perfecta (como <var>a</var>², <var>b</var>³, etc.). Si lo es, el algoritmo no puede producir relaciones válidas. Si de alguna manera encontramos dos enteros <var>X</var> y <var>Y</var> tales que <var>X</var>² ≡ <var>Y</var>² (mod <var>N</var>) y <var>X</var>≠<var>Y</var> (mod <var>N</var>), entonces mcd(<var>X</var>+<var>Y</var>, <var>N</var>) revelará un factor propio de <var>N</var>.</p>
<p>Para hallar estos valores <var>X</var> y <var>Y</var>, el método busca relaciones de la forma <var>t</var>² ≡ <var>u</var> (mod <var>N</var>), donde <var>u</var> es el producto de números primos pequeños. El conjunto de estos primos se denomina base de factores. Estas relaciones se encuentran mediante cribas, cuyo funcionamiento está fuera del alcance de esta introducción.</p>
<p>Las relaciones se combinan multiplicando algunas de ellas. Como el producto de cuadrados siempre produce otro cuadrado, todo el miembro izquierdo resulta ser un cuadrado perfecto. El objetivo es obtener también un cuadrado perfecto en el miembro derecho. Un número es un cuadrado perfecto cuando todos sus factores primos aparecen una cantidad par de veces.</p>
<p>Por ejemplo: sea <var>N</var> = 1817 y supongamos que hemos hallado las siguientes relaciones con base de factores = {2, 7, 13}:</p>
<p>45² ≡ 2<sup>4</sup> × 7<sup>0</sup> × 13<sup>1</sup></p>
<p>123² ≡ 2<sup>10</sup> × 7<sup>0</sup> × 13<sup>1</sup></p>
<p>Ambas relaciones tienen un miembro derecho que no es un cuadrado porque el exponente de 13 no es par. Pero, al multiplicarlas, obtenemos:</p>
<p>84² ≡ 2<sup>14</sup> × 13²</p>
<p>84² ≡ (2<sup>7</sup>×13)²</p>
<p>Dado que 2<sup>7</sup>×13 ≡ 1664, obtenemos el factor mcd(84+1664, 1817) = 23.</p>
<p>Determinar qué relaciones deben multiplicarse para obtener un cuadrado perfecto en el miembro derecho es un problema de álgebra lineal y se resuelve utilizando matrices.</p>
<p>El principal inconveniente de este método es que, a medida que crece el número a factorizar, resulta cada vez más difícil encontrar relaciones; por ello se necesita una variación del método.</p>
<p>La versión SIQS de primos grandes utiliza primos grandes además de la base de factores. El tamaño del primo más grande depende del número a factorizar, pero normalmente es entre 50 y 100 veces mayor que el mayor elemento de la base de factores.</p>
<p>Una relación parcial es una identidad en la que el miembro izquierdo es un cuadrado y el miembro derecho es un producto de los primos de la base de factores multiplicados por un primo grande. Si obtenemos dos relaciones parciales que comparten el mismo primo grande, podemos combinarlas en una relación completa. Esto permite encontrar relaciones aproximadamente el doble de rápido que la variante sin primos grandes.</p>
<p>Por ejemplo, usando nuevamente <var>N</var> = 1817, supongamos que encontramos las siguientes relaciones parciales, donde el número 67 es un primo grande:</p>
<p>71² ≡ 3 × 7 × 67</p>
<p>116² ≡ 11 × 67</p>
<p>Para combinar estas relaciones parciales en una relación completa, las multiplicamos y luego dividimos por el cuadrado del primo grande:</p>
<p>(71 × 116 / 67)² ≡ 3 × 7 × 11</p>